Question

线性代数 已知 w1....wi 在向量空间V里, 什么情况下 span{v1,...,vk}=span{w1,...,wi}

vi属于span{w1,...,wi} i=1,2,...,k
找一个例子来表示span{v1,...,vk}=span{w1,...,wi}是错误的

Answer 1

w1 = (0,0,1), w2 = (0,1,0), w3=(1,0,0)
v1 = (1,1,1), v2=(2,2,2), v3=(3,3,3)
显然两者不等

追问

那第二小问它在什么情况下相等要怎么证明呢？

追答

只要{wi}和{vi}的极大线性无关组的向量个数相等它们就相等
把vi用wi 表示出来可以得到V=AW，其中A是系数矩阵，由于V和W的维数相等，A是可逆方阵
可以得到W=A'V,其中A'是A的逆矩阵，这样可以证明他们互相可以转换，所以相等