Question

高分求解一道数列题

问题在这里
http://hi.baidu.com/%C6%ED%B5%BB%D6%AE%B4%B8/album/%E9%AB%98%E5%88%86%E6%B1%82%E8%A7%A3%E4%B8%80%E9%81%93%E6%95%B0%E5%88%97%E9%A2%98
最后保存一下图片，这样就能看到了

第(2)小题的(iii)应该是这样：(那个k＜m改成k＜n)
比如m=5，则因为c1=|a1b2-a2b1|,2≤m-1=4
所以c2=|a1b3-a3b1|,同理,c3=|a1b4-a4b1|,c4=|a1b5-a5b1|
此时5=m，所以c5=|a2b3-a3b2|，以此类推

Answer 1

这个第二问的条件3中，括号内的条件应该是i<j,k<n吧，如果是k<m那么按照递推关系这个数列cn最多只有m-1项，而第m-1项Cm-1=|a1bm-amb1|,到了这一项递推关系就终止了，但是此时Cm-1明显不是第n项Cn

假设上述条件是k<n

(1)
由于an,bn是增数列，且是整数列
a1=b1=1
∴an>=n,bn>=n
又有2√(an^2+an)<bn+1<√(4an^2+4n+2)
4an^2+4an<4an^2+4n+2
an<n+1/2
由于an是整数列
∴an=n
∴4n^2+4n+<(bn+1)^2<4n^2+4an+2
∵bn+1是整数列
∴(bn+1)^2=4n^2+4n+1
bn+1=2n+1
bn=2n-1

(2)
1)
由递推关系式得
c1=|a1b2-a2b1|
c2=|a1b3-a3b1|
......
cm-1=|a1bm-amb1|
cm=|a2b3-a3b2|
cm+1=|a2b4-a4b2|
...
c2m-3=|a2bm-amb2|
c2m-2=|a3b4-a4b3|
c2m-1=|a3b5-a5b3|
....
c3m-6=|a3bm-amb3|
....
c[(m-1)+(m-2)+(m-3)+...1]=|am-1bm-ambm-1|=cn
c[m(m-1)/2]=cn
n=m(m-1)/2

2)|aibj-ajbi|=|i(2j-1)-j(2i-1)|=|j-i|=j-i
所以c1+c2+c3+...cn
=1+2+3+...(m-1)+1+2+3++...(m-2)+1+2+...(m-3)+....+1+2+1
=m(m-1)/2+(m-1)(m-2)/2+....2*1/2
=1/2[m^2+(m-1)^2+....2^2-m-(m-1)-(m-2)-...-2]
=1/2{m(m+1)(2m+1)/6-1-[m(m+1)/2-1]}
=1/2[m(m+1)(2m+1-3)/6]
=m(m+1)(m-1)/6

3)由2）中推导可得，当j=i+1时，ck=1
由1）中推导过程得
c1=cm=c2m-2=c3m-5=...c[m(m-1)/2]=1
因此其中除了c1外每一项都有可能是c2010
每一项的序号的通项公式为
1+（m-1+i)(m-i)/2 ,i为2,3，。。。m-1
即（m+i-1)(m-i)=2*(2010-1)=2*2009=2*7*7*41
由于m+i-1与m-i都是整数，且一个为奇数一个为偶数，又有m+i-1>m-i
故m+i-1与m-i共有以下几种组合
4018,1
2009，2
574 ，7
287，14
98,41
82，49
他们对应的m分别为
(4018+1+1)/2=2010
(2009+1+2)/2=1006
(574+1+7)/2=291
(287+1+14)/2=152
(98+1+41)/2=70
(82+1+49)/2=66
即m一共有可能为2010,1006,291,152,70,66

Answer 2

{an},{bn}的通项比较容易。(an=n，bn=2n-1)
第(2)小题的(iii)没太看懂啊，楼主能解释一下不？

Answer 3

悲剧
发错地方了
做一下吧
2楼没错

Answer 4

(1)因为：4an²+4an<4an²+4n+2,an<n+1/2,而：a1=1,a2=2,an为整数，
所以：an=n,4n²+4n<（bn+1)²<4n²+4n+2,所以：(bn+1)²=4n²+4n+1,
bn+1=2n+1,bn=2n-1;
(2)(1′)当m=5时,n=4+3+2+1=10,当m=6时,n=5+4+3+2+1=15,
所以：n=1+2+3+...+(m-1)=m*(m-1)/2;
(2′)C1+C2+C3+C4+...+Cn=(1+2+3+...+(m-1))+(1+2+3+...+(m-2))+...
+(1+2+3)+(1+2)+1=(1/2)*[1*2+2*3+3*4+...+(m-1)m]
=(1/2)[m(m+1)(2m+1)/6-m(m+1)/2]=m(m+1)(m-1)/6;
(3′)要使得Cn里出现C2010，则m*(m-1)/2>=2010,m>=64;
因为：C2010=1，所以：m(m-1)/2-(2+3+...+t)=2010;
(m²-t²)-(m+t)=4018,(m+t)(m-t+1)=4018=2*7*7*41;
解得：m=65,69,150,290,1005,2009共6种情况会出现C2010=1.
（因为字数受限制，不能详细作答，望谅解！这个题目很棒。）

Answer 5

第（1）题易解，楼主要是想问第（2）题吧。

Answer 6

太繁了，简要回答，可能错的，要讨论加q:819976727
第一题：
不等式两边平方，有
4an<4n+2,而a1=1,a2>=2,...,an>=n,故：
an=n
就有：
根号下（4n方+4n）<bn<根号下（4n方+4n+2）
bn为整数，b(n+1)=根号下（4n方+4n+1）=2n+1
bn=2n-1
第二题：
就写个答案了，其实我也不怎么会，用到了类推的想法阿，不知对不对的。
1：n=m(p+1)-2p,p为正整数或0
2：Sn=(（(p+1)(m-1)m）/2)-2p
3:由（m-2)(p+1)=2008得：
m=2010,p=0;
m=1006,p=1;
m=504,p=3;
m=253,p=7;
m=10,p=250;
m=6,p=501;
还有两解由m>=5排出了