Question

设二次函数f(x)=ax^2+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件如下

1.f(-1)=0
2.当x∈R时，f(x)>=x恒成立
3.当x∈(0,2)时,f(x)≤((x+1)/2)^2

（1）求a,b,c的值

Answer 1

由(1)知道b=a+c
由(2)得
ax^2+(b-1)x+c>=0 因为对于R成立
所以△<=0和a>0(如果a<0的话,图像开头向下了..) 即是 (b-1)^2-4ac<=0

由(3)得
设P(x)=f(x)-((x+1)/2)^2很可能已经不是二次函数了.不过还是有可能它还是二次函数
虽然条件给的是x属于(0,2)不过我们假设当x=0或2的时候,不满足P(x)<=0 [不妨先假设x=2的时候]
那么它肯定使得P(x)>0 对吧?
因为x在(0,2)中,肯定会使得P(x)<0 所以根据函数的连续性,在(0,2)中肯定有一个值x0使得P（x0)=0 [如果有两个的话,我们选择靠近2的,[因为刚才我已经假设P(2)>0] 所以x1=(x0+2)/2这个值也会使得P(x1)>0 而x1在（0，2）中. [我说得算清楚吗?]
所以当x=0,2是依然满足P(x)<=0的
而且只要x=0,2满足了P(x)<=0 那么x在(0,2)也会满足P(x)<=0 因为P(x)最高为二次函数.而且a>0

把x=0,2代入P(x)
即是c<=1/4 和4a+2b+c<=9/4 把b=a+c代入
4a+2(a+c)+c<=9/4
2a+c<=3/4

把b=a+c代入△
(a+c-1)^2<=4ac
(a-c)^2+1<=2(a+c)=(2a+c)+c<=1/4+3/4=1
所以(a-c)^2<=0
所以a=c
把a=c代入△
(2a-1)^2-4a^2<=0
-4a+1<=0
a>=1/4
而a=c<=1/4
所以a=c=1/4 b=a+c=1/2
ok 搞定