Question

数学求轨迹

已知圆x²+y²;=4,则A(4,0)作圆的割线ABC，则弦BC中点的轨迹是？

Answer 1

可以先画个图.设BC中点为P(x,y)
连接OP由垂径定理得OP垂直AC
而在AC转动时直角三角形OPA中的斜边OA始终不变即OA=4
所以点P的轨迹为以OA为直径的圆的一部分
则由
向量PA点积向量PO=0
得BC的轨迹方程为(x-2)^2+y^2=4

下面需要找出定义域(就是范围)
因为P点只能在圆x^2+y^2=4的内部.
所以P点的极限情况是PA与该圆相切的情况.
设PQ垂直 x轴于Q点
此时可以根据直角三角形OQP相似于直角三角形OPA
得到此时
P(1,根号3)
同理还有对称的部分

故
弦BC中点的轨迹是
(x-2)^2+y^2=4 (-根号3<y<根号3)