Question

【高一数学】

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Answer 1

(1)因为对任意实数 a，b 都有 -(a^2+b^2)/2<=ab<=(a^2+b^2)/2，所以若记 x=a，根号(1-x^2)=b，则 a^2+b^2=1. 将上述不等式应用到此题中即有
-1/2<=x*根号(1-x^2)<=1/2.

(2)因为
(x^2+y^2+1)-(xy+x+y)
=(1/2x^2-xy+1/2y^2)+(1/2x^2-x+1/2)+(1/2y^2-y+1/2)
=1/2(x-y)^2+1/2(x-1)^2+1/2(y-1)^2
>=0
等号成立当且仅当 x-y=0，x-1=0，y-1=0，即 x=y=1 时取等。

(3)由均值不等式：
bc/a + ac/b >= 2根号[(bc/a)*(ac/b)] = 2c
bc/a + ab/c >= 2根号[(bc/a)*(ab/c)] = 2b
ac/b + ab/c >= 2根号[(ac/b)*(ab/c)] = 2a
以上三式相加得到 2(ab/c+ac/b+bc/a)>=2(a+b+c)，因此
ab/c+ac/b+bc/a>=a+b+c.

(4)三角形三个内角之和为180度，C为直角，所以 A+B=90度。而B>0，所以A<90度。

Answer 2

9.证明: a²+b²≥2ab → (a²+b²)²≥4a²b² → a²b²≤(a²+b²)²／4
→ |ab|≤(a²+b²)／2 → －(a²+b²)／2≤ab≤(a²+b²)／2
∴ －[x²+(1-x²)]／2≤x√¯(1-x²)≤[x²+(1-x²)]／2
∴ －1／2≤x√¯(1-x²)≤1／2
11.∵(x-1)²≥0 (y-1)²≥0 (x-y)²≥0
∴(x-1)²＋(y-1)²＋(x-y)²≥0
∴x²－2x＋1＋y²－2y＋1＋x²－2xy＋y²≥0
∴2x²＋2y²＋2－2xy－2x－2y≥0
∴2x²＋2y²＋2≥2x＋2y＋2xy
∴x²＋y²＋1≥xy＋x＋y
13.∵bc/a + ac/b ≥2√¯[(bc/a)×(ac/b)] = 2c
bc/a + ab/c ≥2√¯[(bc/a)*(ab/c)] = 2b
ac/b + ab/c ≥2√¯[(ac/b)*(ab/c)] = 2a
∴2(ab/c+ac/b+bc/a)>≥2(a+b+c) 注：以上三式相加
∴ab/c+ac/b+bc/a≥a+b+c.
14.三角形内角和为180º即π
∴∠A＋∠B＋∠C＝π
∵∠C＝π／2
∴∠A＋∠B＝π／2
∵∠B＞0 －∠B＜0 π／2－∠B＜π／2
∴∠A＝π／2－∠B＜π／2