Question

如果数列{an}满足|an-am|>1/n，证明{an}无界

数列{an}满足：对于任意下标n和m，当n<m时，|an-am|>1/n
求证：数列{an}无界。
恳请大神不吝解答，谢谢！

Answer 1

1、
用反证法：假设an*bn为有界数列,则由定义,存在M>0,对于任意n>0,
|an*bn|+∞（n->+∞),知存在n2>0,当m>n2时|bm|>√M;…………（1）
而由an是无界数列,知存在n1>n2,使得|an1|>√M;…………（2）
在(1)中取m=n1,(1)*(2):
|an1|*|bn1|>M,这与假设矛盾,故an*bn必为无界数列.
2、
不一定.反例：
n为偶数时an=n,n为奇数时an=1/n；
n为偶数时bn=1/n,n为奇数时bn=n；
则an,bn均为无界数列,但an·bn=1为常数数列,有界