Question

导数恒成立问题

Answer 1

• f(x)=ln(1+x)/(1-x)=ln[-1+2/(1-x)  x∈(0,1) 

  令g(x)=f(x)-k(x+⅓x³)

  g'(x)=2[(1-x)/(1+x)]·1/(1-x)²-k(1+x²)=2/(1-x²)-k(1+x²)=[2-k(1-x⁴)]/(1-x²)

  k=0时g'(x)=2/(1-x²)>0→g(x)单调递增 g(x)>g(0)=0→f(x)>k(x+⅓x³)恒成立
  

  显然k<0时f(x)-k(x+⅓x³)>f(x)→g(x)>0→f(x)>k(x+⅓x³)恒成立

  0<k≤2时 分子2-k(1-x⁴)≥0且分母>0→g'(x)≥0→g(x)单调递增→f(x)>k(x+⅓x³)恒成立
  

  k>2时
  

  驻点：x=⁴√(1-2/k) 左- 右+ 为极小值点，极小值<g(0)=0,不等式不恒成立

• k∈(-∞,2]