Question

问：（a+b+c）的3次方-a的3次方-b的3次方-c的3次方(分解因式)

为什么（a＋b）（a＋c）（b＋c）是下图上式子的因式？
我就是要问为什么“当a=-b时，原式=0"这个条件决定着（a＋b）（a＋c）（b＋c）是它的因式？
二楼的，万事有因就有果好伐！肯定有其原因的。

Answer 1

楼主，要解决你的问题，需要知道两个东西，
1）因式分解定理
2）对称多项式

现在我依此解释
1）因式分解定理：
如果x=a时，多项式 b•x^n+c•x^(n-1)+d•x^(n-2)+……+mx+n的值为0，那么(x-a)是该多项式的一个因式。

当然 含有多个字母的式子 也同样成立，因为你可以把一个字母看做主元，其他字母看做常数，
比如x³+x²y+y²x+y³=x³+y•x²+y²•x+y³，其中y•x²的y，y²•x的y²，y³就可看做常数

x³+x²y+y²x+y³取x=-y代入
等于 –y³+y³-y³+y³=0，所以x+y就是其一个因式，

2）对称多项式：
一个含有多个字母的多项式，将其中任意两个字母对调，仍与原多项式一样，那么这个多项式是对称多项式。

比如：（a+b+c）³-a³-b³-c³
把a与b对调得 (b+a+c)³-b³-a³-c³与原多项式一样，
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³是对称多项式

而对于对称多项式 ，如果已知它含有一个低次数的因式，那么它必含有 相同类型其他因式。

比如已知（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式(a+b)
与a+b类型相同的因式有b+c，a+c
所以（a+b+c）³-a³-b³-c³有因式a+b ，b+c，a+c

【因为（a+b+c）³-a³-b³-c³是三次式，(a+b)(b+c)(a+c)已满三次
所以设（a+b+c）³-a³-b³-c³=k(a+b)(b+c)(a+c)
取a=-1，b=0，c=2代入
左边=1³-(-1)³-0³-2³=-6
右边=k×(-1)×2×1= -2k
所以 -6=-2k，k=3

所以（a+b+c）³-a³-b³-c³=3(a+b)(b+c)(a+c)
（对称式一般用待定系数法分解）】

【既然你喜欢柯南，就一定能看懂，我相信你！】

Answer 2

当a=-b时，原式=0
即有因式(a+b)
同理有(b+c)(c+a)

Answer 3

因式分解出来（a＋b）（a＋c）（b＋c）它们就是那个式子的因式
不用考虑那么多，你补充的问题那个只是种算法，它们是不是那个式子的因式不是由什么决定的，那是不变的事实。