Question

万有引力竞赛题

RT
设想宇宙有一由质量分别为M1，M2.....Mn的星体1，2....N构成的孤立星团,各星体空间为之间距离均为a,系统总质量为M,由于万有引力的作用,N个星体将同时由静止开始运动,试问多长时间以后各星体会相遇?

Answer 1

我刚做这道题的时候因为"各星体空间为之间距离均为a",怎么也想不通.后来直接安慰自己说这是个N维空间,用位矢处理.

首先,因为最终这个系统不受外力,质心保持静止,星体必然汇聚于质心,选质心参考系.

然后,对某一星体受力分析,利用质心系中总动量为0，可将其合外力化简为F=GmMr/a^3,其中,G为万有引力常数,m为正在分析的星体质量,M为系统总质量,a为各星体之间距离,r为从质心引向该星体的位矢.

接着,把式子变形,等效理解为质心处有一M'大星体F=GM'm/r^2,M'=M*(r/a)^3.

最后,把星体的直线轨迹近似处理成椭圆,可得t=π(a^3/8GM)^1/2