Question

高一函数问题.. 关于增函数见函数的.

证明:函数f(x)=x+(1/x)在(-1,0)和(0,1)上是减函数,在(-∞,-1)和[1,+∞)是增函数.

详细过程 thx`

Answer 1

设x1＜x2
则f(x1)-f(x2)=x1+1/x1-x2-1/x2=(x1²x2+x2-x1x2²-x1)/x1x2

即f(x1)-f(x2)=(x1x2-1)(x1-x2)/x1x2

1)当x1、x2∈(-∞，-1)时

x1x2-1＞0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）

故f（x）在（-∞，-1）上是增函数

2）当x1、x2∈[-1，0）时

x1x2-1＜0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）

故f（x）在[-1，0）上是减函数

3）当x1、x2∈（0，1]时

x1x2-1＜0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＞0 即f（x1）＞f（x2）

故f（x）在[0，1）上是减函数

4）当x1、x2∈（1，+∞）时

x1x2-1＞0 x1-x2＜0 x1x2＞0

则f（x1）-f（x2）＜0 即f（x1）＜f（x2）

故f（x）在（1，+∞）上是增函数

综上，当f（x）在（-∞，-1）或（1，+∞）上是增函数

f（x）在[-1，0）或（0，1]上是减函数

Answer 2

证：令g=f（x1）-f（x2）=x1-x2+1/x1-1/x2=（x1-x2）（x1x2-1）/x1x2

1、当x1>x2,且x1、x2∈〔-1,0)时，0<x1*x2<1,则g<0,所以在〔-1,0)区间是减函数

2、当x1>x2,且x1、x2∈(0,1〕时，0<x1*x2<1,则g<0,所以在(0,-1〕区间是减函数

3、当x1>x2,且x1、x2∈(-∞,-1〕时，x1*x2>1,则g<0,所以在(-∞,-1〕区间是增函数

4、当x1>x2,且x1、x2∈[1,+∞)时，x1*x2>1,则g<0,所以在[1,+∞)区间是增函数

Answer 3

建议你不要太纠结于这种问题 以后学了导数这东西就太小儿科了...
楼上们说的方法没问题 但是实用性应该只能有一年吧
没学导数要是考这种问题就太无聊了
理解了就完了 等着学导数吧...

Answer 4

导数符号打不出来
对f(x)求导=1-1/x^2
(-∞,-1) 和(1,+∞) 定义域上 f(x)导数大于0 所以是增函数