Question

已知数列{an}中,a1=2,an+1=an²+2an

求证数列lg1+an是等比数列
设tn=(1+a1)(1+a2).......(1+an) 求tn

Answer 1

a1=2>0，假设当n=k(k∈N*)时，ak>0，则
a(k+1)=ak²+2ak>0
k为任意正整数，因此对于任意正整数n，an>0
a(n+1)=an²+2an
1+a(n+1)=1+an²+2an=(1+an)²
lg[1+a(n+1)]=lg(1+an)²=2lg(1+an)
lg[1+a(n+1)]/lg(1+an)=2，为定值
lg(1+a1)=lg(1+2)=lg3

数列{lg(1+an)}是以lg3为首项，2为公比的等比数列
lg(1+an)=lg3·2ⁿ⁻¹=lg3^(2ⁿ⁻¹)
1+an=3^(2ⁿ⁻¹)
Tn=(1+a1)(1+a2)...(1+an)

=3^(2⁰)· 3^(2¹)· ...· 3^(2ⁿ⁻¹)
=3^(1+2+...+2ⁿ⁻¹)
=3^[1· (2ⁿ-1)/(2-1)]
=3^(2ⁿ-1)