Question

高一数学向量和空间立体几何题

1、已知等边三角形ABC的边长为2，圆A的半径为1。PQ为圆A的任意一条直径
（1）判断向量BP*向量CQ-向量AP*向量CB的值是否会随点P的变化而变化，说明理由
（2）求向量BP*向量CQ的最大值

2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点。在棱C1D1上是否存在点F，使B1F‖平面A1BE？

3、
各位帮帮忙
急啊！~

Answer 1

1. 1不变为定值1

   2最大是3，最小是1

下面是过程

①如图建立坐标系设圆A的参数方程为｛x=cosθ 

                                 ｛y=sinθ

则A(0,0) B(2,0) C（1,{根号3}） P（cosθ，sinθ） Q(-cosθ,-sinθ)

下面为了方便把根号3设为m 即C的坐标(1,m)

这样 

向量BP=（cosθ-2，sinθ)

向量CQ=(-cosθ-1,-sinθ-m)

向量AP=(cosθ,sinθ)         

向量CB=(1,-m)

∴向量BP*向量CQ-向量AP*向量CB=

 -（cosθ）^2 + cosθ + 2 -(sinθ)^2 - m*sinθ -(cosθ-m*sinθ)

=1

②求向量BP*向量CQ的最大值

有了上面这些这里就简单了

向量BP*向量CQ=-（cosθ）^2 + cosθ + 2 -(sinθ)^2 - m*sinθ=

1-cosθ - m*sinθ=1+2cos（θ+π/3）

｛  利用三角函数公式 cosθ - m*sinθ=2cos（θ+π/3）    ｝

∴max=3

2 存在

作B1C1中点Y连接AY

则AY垂直于面A1BE

故只需B1F垂直于AY即可

分析可知

当F为C1D1中点时两者垂直即此时面A1BE与B1F平行 

(结合图形理解更方便) 

这是一般的思路，可能还有其他的方法更简单，跪等高手~

匆忙写出来可能过程有错

如有情况可联系我~ID就是我的Q

祝你数学成绩更上一层楼