Question

函数y=（3-sinx）/（2+cosx）的最大值是多少？

要有步骤的。

Answer 1

令k=(3-sina)/(2+cosa)
则k是过两点A(2,3),B(-cosa,sina)的直线的斜率
sin²a+(-cosa)²=1
所以B在单位圆上
则过A的直线y-3=k(x-2)和单位圆有公共点
所以圆心(0,0)到直线kx-y+3-2k=0的距离小于等于半径r=1
所以|0-0+3-2k|/√(k²+1)≤1
0≤|2k-3|≤√(k²+1)
平方
4k²-12k+9≤k²+1
3k²-12k+8≤0
(6-2√3)/3≤k≤(6+2√3)/3
最大值为（6+2√3）/3

Answer 2

最大值为（6+2√3）/3

把y=（3-sinx）/（2+cosx）转化为k=（3-sinα）/（2+cosα）,求k的最值
设3-sinα=x,sinα=3-x。2+cosα=y，cosα=y-2
有：（x-3）²+（y-2）²=1

直线y = x/k 和圆（x-3）²+（y-2）²=1 相切时，k有最值。
把x=ky带入圆：
（k²+1)y² -(6k+4)y +12=0
判别式=0
(6k+4)²=48(k²+1)
k=(6±2√3)/3

最大值为（6+2√3）/3