Question

高数 第六版，习题1-4 第5题，根据函数极限或无穷大定义，填写表。谢谢啦

Answer 1

因为sinx是基本初等函数在起定义上是连续的所以极限等于函数值。

当x取无穷大时，极限不等（1或无穷大），根据定义得极限不存在。

证题： 

任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0，都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：

1、取0<|x-e|是不需要考虑点x=e时的函数值，可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 

2、用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。

无穷大

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X，即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

Answer 2

因为sinx是基本初等函数在起定义上是连续的所以极限等于函数值。

当x取无穷大时，极限不等（1或无穷大），根据定义得极限不存在。

证题： 

任意给定ε>0，要使|f(x)-A|0，使当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-A|0，要使|lnx-1|0，都能找到δ>0，使当0<|x-e|<δ时，有|f(x)-1|<ε . 即当x趋近于e时，函数f(x）有极限1 说明一下：

1、取0<|x-e|是不需要考虑点x=e时的函数值，可以存在也可不存在，可为A也可不为A。 

2、用ε-δ语言证明函数的极限较难，通常对综合大学数学等少数专业才要求。

扩展资料:

设函数f(x)在x0的某一去心邻域内有定义（或|x|大于某一正数时有定义）。如果对于任意给定的正数M（无论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式0<|x-x0|<δ(或|x|>X，即x趋于无穷)，对应的函数值f(x)总满足不等式|f(x)|>M，则称函数f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大。

在自变量的同一变化过程中，无穷大与无穷小具有倒数关系，即当x→a时f(x)为无穷大，则1/f(x)为无穷小；反之，f(x)为无穷小，且f(x)在a的某一去心邻域内恒不为0时，1/f(x)才为无穷大。

参考资料来源：百度百科-无穷大

Answer 3