Question

正定矩阵为什么是对称矩阵？

Answer 1

因为在线性代数里，正定矩阵 有时会简称为正定阵。在双线性代数中，正定矩阵的性质类似复数中的正实数。与正定矩阵相对应的线性算子是对称正定双线性形式，所以也是对称矩阵。

1. 正定矩阵的广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zMz> 0，其中z 表示z的转置，就称M正定矩阵。例如:B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

2. 正定矩阵的狭义定义：一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz> 0。其中z表示z的转置。

Answer 2

首先你x*Mx要跟0比较，所以x*Mx必须是实数(x∈C是复数域上的向量，所以用x*Mx，而不是x'Mx）。任何矩阵都可以写成H+iK的形式（H、K是Hermite矩阵），假设M=H+iK，x*Mx=x*(H+iK）x=x*Hx+ix*Kx （1），Hermite矩阵的特征值都是实数，Hermite矩阵的二次型也是实数（自己证吧，很简单）。（1）要是实数，所以x*Kx=0，K=0.所以M=H也是Hermite矩阵。所以说在复数域上正定矩阵必然是Hermite矩阵(A=A*，A*就是A的共轭转置）。

至于楼上说M= 1 1 ，那你把复向量x=（i，1）带到x*Mx里面去试试看看等于多少，答案是一个复
-1 1

数，就不能跟0比较了呗，正定也就无从谈起。

所以说，复数域上的正定矩阵一定是Hermite矩阵。有疑问的可以问我，大家共同探讨。