高数 积分 求问
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解：分享一种解法，转化成二重积分求解。
设I=∫(0,1)e^(-x²/2)dx，∴I=∫(0,1)e^(-y²/2)dy。∴I²=∫(0,1)e^(-x²/2)dx∫(0,1)e^(-y²/2)dy。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/2，0≤ρ≤1。 ∴I²=∫(0,π/2)dθ∫(0,1)e^(-ρ²)ρdρ。
而，∫(0,1)e^(-ρ²)ρdρ=(-1/2))e^(-ρ²)丨(ρ=0,1)=(1-1/e)/2。∴I²=π(e-1)/(4e)。
∴原式=I=(1/2)[π(e-1)/e]^(1/2)。
供参考。
设I=∫(0,1)e^(-x²/2)dx，∴I=∫(0,1)e^(-y²/2)dy。∴I²=∫(0,1)e^(-x²/2)dx∫(0,1)e^(-y²/2)dy。
设x=ρcosθ，y=ρsinθ。∴0≤θ≤π/2，0≤ρ≤1。 ∴I²=∫(0,π/2)dθ∫(0,1)e^(-ρ²)ρdρ。
而，∫(0,1)e^(-ρ²)ρdρ=(-1/2))e^(-ρ²)丨(ρ=0,1)=(1-1/e)/2。∴I²=π(e-1)/(4e)。
∴原式=I=(1/2)[π(e-1)/e]^(1/2)。
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