Question

A乘A的转置矩阵等于0,证A=0

A乘A的转置矩阵等于0,证A=0 答案给出设A=[aij]直接计算A×AT,为什么其主对角线上元素就为零了，某一行或某一列元素得零，矩阵不是也得零吗？

Answer 1

若是方阵，某一行或某一列元素得零，矩阵不是零矩阵，只是其行列式是 0。

设 A = [aij]， 则 A^T A 的对角元分别是：

(a11)^2 + (a21)^2 + ... + (an1)^2， (a12)^2 + (a22)^2 + ... + (an2)^2， ......，(a1n)^2 + (a2n)^2 + ... + (ann)^2，它们均为 0， 只有a11=a21=...=an1 = 0，a12=a22=...=an2 = 0， ......，a1n=a2n=...=ann= 0。

即 A = 0。

扩展资料：

将矩阵的行列互换得到的新矩阵，转置矩阵的行列式不变。行数与列数都等于n的矩阵称为n阶矩阵或n阶方阵。

对称矩阵的正定性与其特征值密切相关。矩阵是正定的当且仅当其特征值都是正数。将矩阵分解为由其特征值和特征向量表示的矩阵之积的方法。需要注意只有对可对角化矩阵才可以施以特征分解。

参考资料来源：百度百科--矩阵

参考资料来源：百度百科--转置矩阵

Answer 2

若是方阵，某一行或某一列元素得零，矩阵不是零矩阵，只是其行列式是 0。
设 A = [aij]， 则 A^T A 的对角元分别是：
(a11)^2 + (a21)^2 + ... + (an1)^2, (a12)^2 + (a22)^2 + ... + (an2)^2, ......,
(a1n)^2 + (a2n)^2 + ... + (ann)^2,
它们均为 0， 只有
a11=a21=...=an1 = 0, a12=a22=...=an2 = 0, ......, a1n=a2n=...=ann= 0
即 A = O。

Answer 3

假设A是一个m×n的矩阵，A×A的转置是m×m的矩阵，它的对角元素是A的第i行×A的转置的第i列，A的转置的第i列就是A的第i行，即A×A转置的对角元素为A对应行元素的平方和，由条件知它是0矩阵，所以这个平方和为0，即每个元素为0，所以A为0矩阵。
事实上，A*A的转置的秩一定等于A的秩（利用方程的同解证明），这个结论很容易推出A=0