Question

数学急急急急急第三小题求解

Answer 1

10. 已知直线L：y=xtanα；园C：(x-1)²+(y-2)²=1；①。求L与C的直角坐标方程；
②。若α=π/4，L与C交于M，N两点，求∆CMN的面积；③。若L与C交于A,B两点，且B是OA
的中点，求L的斜率。
解：①。L：ρsinθ=ρcosθtanα，即有tanθ=tanα，故L的极坐标方程为：θ=α；
C：(ρcosθ-1)²+(ρsinθ-2)²=1；展开化简得：ρ²-2ρ(cosθ+2sinθ)+4=0;
②. 当θ=α=π/4时，L的方程为 x-y=0；C的极半径ρ满足方程：ρ²-2ρ(√2/2+√2)+4=0
即有ρ²-3(√2)ρ+4=0，∴ρ₁,₂=[3√2±√(18-16)]/2=(3√2±√2)/2;即ρ₁=2√2；ρ₂=√2；
故∣MN∣=ρ₁-ρ₂=√2；园心C(1，2)到弦AB的距离h=∣1-2∣/√2=1/√2；
∴∆CMN的面积S=(1/2)×∣MN∣×h=(1/2)×√2×(1/√2)=1/2；
③。L与园C交于A，B两点，且B是OA的中点，故L必故园心C(1，2)；故θ=arctan2；即L的
斜率k=tan(arctan2)=2.