Question

Xn＝根号2，Xn＝根号下2＋Xn-1,求极限Xn

Xn＝根号2，Xn＝根号下2＋Xn-1,求极限Xn

Answer 1

利用数学归纳法可以证明：

当n∈n+时，1≤xn＜2。

所以limxn存在，记为a，则必有：

limxn=limx(n+1)，于是对递推式两端同时取极限，得：

a=√(2+a)，解得a=2(注意此时a＞0)

所以xn的极限为2。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

先归纳法得 √2 ≤ x(n) ≤ 2，
所以数列有界，
然后由 x(n)-x(n-1)
＝√[2＋x(n-1)] - √[2＋x(n-2)]
(添上分母 1，然后分子有理化)
＝[x(n-1)-x(n-2)] / [√ ＋ √]
及 x(2)＞x(1) 得 x(n)＞x(n-1)，
数列递增有上界，因此必收敛，
设极限为 x，两边取极限，得
x＝√(2＋x)，解得 x＝2。