简单高数问题
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2018-10-13
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设函数Fx=f(x)-f(x+a)
F(0)=f(0)-f(a);F(a)=f(a)-f(2a);
又因为f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a)
所以F(a)=f(a)-f(0)
所以F(0)*F(a)=-[f(0)-f(a)]^2
(1)当f(0)=f(a)时,那么f(x)=f(x+a)的一个解为x=0;
(2)当f(0)≠f(a)时,那么F(0)*F(a)=-[f(0)-f(a)]^2〈0,
又因为f(x)在[0,2a]上连续,所以在开区间(0,a)之间至少存在一个数k,使得Fk=f(k)-f(k+a)=0,那么方程f(x)=f(x+a)的一个解为x=k
综合以上两种情况,说明方程f(x)=f(x+a)在闭区间[0.a]之间至少存在一个解
F(0)=f(0)-f(a);F(a)=f(a)-f(2a);
又因为f(x)在[0,2a]上连续,且f(0)=f(2a)
所以F(a)=f(a)-f(0)
所以F(0)*F(a)=-[f(0)-f(a)]^2
(1)当f(0)=f(a)时,那么f(x)=f(x+a)的一个解为x=0;
(2)当f(0)≠f(a)时,那么F(0)*F(a)=-[f(0)-f(a)]^2〈0,
又因为f(x)在[0,2a]上连续,所以在开区间(0,a)之间至少存在一个数k,使得Fk=f(k)-f(k+a)=0,那么方程f(x)=f(x+a)的一个解为x=k
综合以上两种情况,说明方程f(x)=f(x+a)在闭区间[0.a]之间至少存在一个解
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