Question

求椭圆离心率的几种方法

Answer 1

椭圆的离心率是描述椭圆“扁平”程度的一个重要的量，e越大,ba越小,椭圆越扁;反之e越小, ba越大,椭圆越圆。而以考查离心率为切入点的试题在高考中常常出现。对于椭圆的离心率范围的确定，由其定义可知e=ca=1－ba�2=11+bc�2，关键是设法建立关于a,b,c的齐次方程或者齐次不等式,然后将其转化成关于离心率e的方程或不等式，下面结合几个实例谈谈这类问题的解题策略，供同学们学习参考。��

一、 利用定义寻找参数a,c的关系�

【例1】 椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的两焦点为F�1,F�2，以F�1F�2为边作正三角形，若椭圆恰好平分三角形的另两边，则椭圆的离心率为� � .�
分析 因为点N在椭圆上,所以点N到两焦点的距离之和为2a,由此建立a,c的等量关系。�

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点拨 求椭圆的离心率关键是根据题目条件列出a、c之间的关系式。上述解法用了等积变换,也可利用点到直线的距离公式求解。�
三、 利用曲线与方程的关系构建等量关系�
【例3】 椭圆的中心在原点O，右焦点F在x轴上，椭圆与y轴正半轴交于A点，直线AF与椭圆交于B点，�AF�=3�FB�，则椭圆的离心率为� � ．�
分析 设椭圆为x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0),用参数a,b,c表示出曲线上的B,代入椭圆。�

解 由题意点A(0,b)，F(c,0),设点�B(x�0,y�0)�,�AF�=(c,�－b�),�FB�=(x�0－c,y�0),�
因为�AF�=3�FB�,所以x�0=43c,�y�0=－b3,又点B在椭圆上,所以16c�29a�2+b�29b�2=1,解得e=22.�
点拨 曲线上的点必然满足曲线的方程，常用来构建等量关系,大家可要牢记哦!�

生活只有在平淡无味的人看来才是空虚而平淡无味的。――车尔尼雪夫斯基

四、 利用椭圆的有界性来建立起参数a,b,c中的不等关系�

【例4】 如图，A,B,C分别是椭圆x�2a�2+y�2b�2=1(a>b>0)的顶点，
P为椭圆上异于A,C的一点.如果线段AP的垂直平分线过B点，求椭圆离心率的范围.�
分析 设出点P（x�1,y�1）依题意点P的纵坐标y�1满
足0b>0),若以椭圆中心为原点,以半焦距c为半径作圆,与椭圆有四个交点,求椭圆离心率的取值范围是� � .�