Question

如图求解答微积分

Answer 1

属于0/0型，同时f'(0)=0
使用罗比塔法则,上下求导
=lim[(f'(x)-(ln(1+x))'*f'(ln(1+x))]/3x^2
=lim[(f'(x)-1/(1+x)*f'(ln(1+x))]/3x^2
显然，仍然为0/0型，继续使用罗比塔法则
=lim[(f''(x)+1/(1+x)^2*f'(ln(1+x))-1/(1+x)^2*f''(ln(1+x))]/6x
仍然为0/0型，继续使用罗比塔法则
=lim[(f'''(x)-2/(1+x)^3*f'(ln(1+x))+1/(1+x)^3*f''(ln(1+x))+2/(1+x)^3*f''(ln(1+x))-1/(1+x)^3*f'''(ln(1+x))]/6
=(f'''(0)-2f'(0)+f''(0)+2f''(0)-f'''(0))/6
=[3f''(0)-2f'(0)]/6
=0

追问

为什么3阶导存在？二阶导在x=0处为何等于0？

追答

三阶如果不存在，那么仍然是0/0的未定式。