如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=－(x)，那么就称f(x)为奇函数。
如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x值，都有f(－x)=f(x)，那么就称f(x)为偶函数。
说明：(1)由奇函数、偶函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇函数。
(2)判断是不是奇函数或偶函数，不能轻率从事。为了便于判断有时可采取如下办法：计算f(x)+f(－x)，视其结果而说明是否是奇函数。用这个方法判断此函数较为方便。
(3)判断函数的奇偶性时，还应注意是否对定义域内的任何x值， 当x≠0时，显然有f(－x)=－f(x)，但当x=0时，f(－x)=f(x)=1，∴f(x)为非奇非偶函数。
(4)奇函数的图象特征是关于坐标原点为对称的中心对称图形；偶函数的图象特征是关于y轴为对称轴的对称图形。
(5)函数的单调性与奇偶性综合应用时，尤其要注意由它们的定义出发来进行论证。例如果函数f(x)是奇函数，并且在(0，+∞)上是增函数，试判断在(－∞，0)上的增减性．
解：设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2＜0
则有－x1＞－x2＞0，
∵f(x)在(0，+∞)上是增函数，
∴f(－x1)＞f(－x2)
又∵f(x)是奇函数，∴f(x)=－f(x)对任意x成立，
∴=－f(x1)＞－f(x2)
∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在(－∞，0)上也为增函数．
由此可得出结论：一个奇函数若在(0，+∞)上是增函数，则在(－∞，0)上也必是增函数，即奇函数在(0，+∞)上与(－∞，0)上的奇偶性相同。类似地可以证明，偶函数在(0，+∞)和(－∞，0)上的奇偶性恰好相反时f(x)的解析式 。
解 ∵x＜0，∴－x＞0．
又∵f(x)是奇函数，∴f(－x)=－f(x)．
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2024-06-06 广告
偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)= f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
特别地：
1.如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(x)=f(-x）和f(-x)=-f(x），（x∈R，且R关于原点对称.）那么函数f(x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。
2.如果对于函数定义域内的存在一个a，使得f(a）≠f(-a），存在一个b，使得f(-b）≠-f(b），那么函数f(x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。
函数奇偶性的证明方法一般有：
⑴定义法：函数定义域是否关于原点对称，对应法则是否相同。
⑵图像法：f(x）为奇函数f(x）的图像关于原点对称 点（x,y）→（-x,-y） f(x）为偶函数f(x）的图像关于Y轴对称 点（x,y）→（-x,y）
⑶特值法：根据函数奇偶性定义，在定义域内取特殊值自变量，计算后根据因变量的关系判断函数奇偶性。
⑷性质法：利用一些已知函数的奇偶性及以下准则（前提条件为两个函数的定义域交集不为空集）：两个奇函数的代数和（差）是奇函数；两个偶函数的和（差）是偶函数；奇函数与偶函数的和（差）既非奇函数也非偶函数；两个奇函数的积（商）为偶函数；两个偶函数的积（商）为偶函数；奇函数与偶函数的积（商）是奇函数。
