Question

求这三个函数的极限

求这三个函数的极限第二题的三个函数，最好把解题步骤写纸上

Answer 1

2、3题稍后

追答

Answer 2

解：分享一种解法，均用等价无穷小量替换求解。
(1)小题，x→0时，e^x~1+x+(1/2)x²+(1/3!)x³，ln(1+x)~x，∴x(e^x+1)-2(e^x-1)~x[2+x+(1/2)x²+(1/3!)x³]-2[x+(1/2)x²+(1/3!)x³]=(1/6)(x³+x^4)、x(e^x-1)ln(1+2x)~2x³，
∴原式=lim(x→0)(1/6)(x³+x^4)/(2x³)=1/12。
(2)小题，x→0时，(tanx-sinx)/(1+sinx)→0，cosx~1-(1/2)x²、ln(1+x)~x，而(1+tanx)/(1+sinx)=1+(tanx-sinx)/(1+sinx)）
∴原式=e^{lim(x→0)(1/x²)ln[1+(tanx-sinx)/(1+sinx)]=e^{lim(x→0)(tanx-sinx)/[(1+sinx)x²].
而，lim(x→0)(tanx-sinx)/[(1+sinx)x²]=lim(x→0)[tanx/(1+sinx)](1-cosx)/x²=0，
∴原式=e^0=1。
(3)小题，x→0时，arcsinx~x，ln(1+x)~x-(1/2)x²，∴(1+x)^(1/x)-e=e^[(1/x)ln(1+x)]-e~e^(1-x/2)-e=e[e^(-x/2)-1]~(-e/2)x，
∴原式=lim(x→0)(-e/2)x/x=-e/2。
供参考。