Question

高数求极限关于等价无穷小替换

高数求极限关于等价无穷小替换为什么不能回换成如下图所示？

Answer 1

x->∞
x^2.ln(1+1/x)
~ x^2 .[ 1/x -(1/2)(1/x)^2 ]
~ -1/2 + x
lim(x->∞) e^x/ (1+1/x)^x^2
=lim(x->∞) e^x/ e^[x^2.ln(1+1/x) ]
=lim(x->∞) e^x/ e^( -1/2 +x)
=e^(1/2)

追问

为什么不能像图中那样替换呢？

追答

缺少： -(1/2)(1/x)^2

追问

我知道你是用的泰勒

可是为什么等价无穷小就不能替换？

追答

无穷小： 只是泰勒的一小部分，很多时候都不使用

e.g lim(x->0)  (tanx -x)/x^3

x->0

case 1：等价无穷小 

tanx ~x           抛弃了 +(1/3)x^3

分子 : tanx -x =0

没法比较

case 2：泰勒

tanx ~ x +(1/3)x^3

tanx -x ~ (1/3)x^3    ：   (1/3)x^3 ： 不能抛弃

lim(x->0)  (tanx -x)/x^3

=lim(x->0)  (1/3)x^3/x^3

=1/3

情况跟题目一样

x->∞
x^2.ln(1+1/x)
~ x^2 .[ 1/x -(1/2)(1/x)^2 ] 

(1/2)(1/x)^2： 不能抛弃

Answer 2

不要被误导，
这不是除法，幂函数运算实际是同底数幂减法，
减法不能等价无穷小代换