Question

已知函数f（x）=2x2^2+ax+b/x^2+1的值域为[1.3],求a,b的值.

以下是解题过程。

f(x) = (2x²+ax+b)/(x²+1) = y
yx²+y = 2x²+ax+b
(y-2)x²-ax+(y-b) = 0
y≠2时：
判别式△=(-a)²-4(y-2)(y-b) = a² - 4y² + 4(b+2)y -8b ≥ 0
y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0
f(x) = (2x²+ax+b)/(x²+1) = y的值域为 [1,3]
即：y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0的解集为 [1,3]
y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0等效于（y-1)(y-3)≤0,即y²-4y+3≤0
∴b+2=4,(8b-a²)/4 =3
b=2,
(8×2-a²)/4 =3
16-a²=12
a²=4
a=-2,或2
y=2时,(y-2)x²-ax+(y-b) = 0化为ax+b=2,±2x+2=2,x=0满足要求

我对其中
f(x) = (2x²+ax+b)/(x²+1) = y的值域为 [1,3]
即：y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0的解集为 [1,3]
这一步的转换感到很费解，想问问为什么y² - (b+2)y + (8b-a²)/4 ≤ 0的解集是[1,3]....是因为y在[1.3]范围内，所以不管它在哪个式子中的解集都是[1,3]么？

Answer 1

设t=(2ⅹ²+ax+b)/(x²+1)，则
(t-2)x-ax+t-b=0.
判别式△≥0，故
(-a)²-4(t-2)(t-b)≥0，
即4t²-4(b+2)t+8b-a²≤0 ··· ···①
而f(x)=t∈[1，3]，
∴(t-1)(t-3)≤0，
即t²-4t+3≤0 ··· ···②
显然①、②为同解不等式，
即各项系数成比例，故
4:1=4(b+2):4=(8b-a²):3.
解得，a=±2，b=2。