Question

1²+2²+3²+...+n²

Answer 1

图

Answer 2

由12+22+32+。。。+n2=n（n+1)（2n+1）/6 ∵（a+1）3-a3=3a2+3a+1（即（a+1)3=a3+3a2+3a+1） a=1时：23-13=3×12+3×1+1 a=2时：33-23=3×22+3×2+1 a=3时：43-33=3×32+3×3+1 a=4时：53-43=3×42+3×4+1 。。。。。。 a=n时：（n+1）3-n3=3×n2+3×n+1 等式两边相加：（n+1)3-1=3（12+22+32+。。。+n2）+3（1+2+3+。。。+n）+（1+1+1+。。。+1） 3（12+22+32+。。。+n2）=（n+1）3-1-3（1+2+3+。。。+n）-（1+1+1+。。。+1） 3（12+22+32+。。。+n2）=（n+1）3-1-3（1+n）×n÷2-n 6（12+22+32+。。。+n2）=2（n+1)3-3n（1+n)-2(n+1) =(n+1)[2(n+1)2-3n-2] =(n+1)[2(n+1)-1][(n+1)-1] =n(n+1)(2n+1) ∴12+22+。。。+n2=n（n+1)（2n+1）/6.