Question

△ABC中∠BAC=60°,∠C=40°,AD、BE是△ABC角平分线。求证:AB+BD=BE+AE

0.0救命啊，快教偶各位童鞋

Answer 1

画图麻烦，我就不画了，你照我说的画图，一看就明白了。

证明：

过点D作BE的平行线交AC于点F，

因为BE为角平分线，易得∠EBC=∠ECB=40°，△BEC为等腰三角形，

所以BE=EC，AE+BE=AE+EC，

同理，△DFC也是等腰三角形，FD=FC

所以，AE+BE=AE+EC=AF+FC=AF+FD    ①；

计算易得∠AFD=80°，又有∠ABD=80°，

则∠AFD=∠ABD，

又∠BAD=∠FAD，AD=AD，

所以△ABD与△AFD全等（角边角），从而AB+BD=AF+FD    ②，

由①②可得，AB+BD=BE+AE。

Answer 2

证明：

延长AB到F，BD=BF

∠BAC=60，∠C=40，

∠ABC=180-60-40=80

AD为角平分线

∠BAD=30

∠ADB=180-30-80=70

∠ADC=180-70=110

∠FDB=180-80=100

∠BFD=∠BDF=(180-100)/2=40

∠ADF=∠ADB+∠BDF=70+40=110=∠ADC

∠FAD=∠CAD=30

AD=AD

三角形ADF 全等 三角形ADC

AF=AC

AB+BD=AB+BF=AF

BE为角平分线

∠CBE=40=∠BCA

三角形BEC为等腰三角形

BE=EC

BE+AE=AE+EC=AC

所以 AB+BD=BE+AE

Answer 3

因为 ∠BAC=60，∠C=40，所以 ∠ABC=80.
又因为 BE 平分 ∠ABC，所以 ∠EBC=40=∠C，因此有 EB=EC.
要证 AB+BD=BE+AE，由 BE=EC，所以只要证 AB+BD=AE+EC=AC，即 AB+BC=AC.
延长 AB 至 F 使得 BF=BD. 此时只要证明 AF=AC.
注意到 AD 平分 ∠BAC，∠BAD=∠CAD (1)
由 BD=BF，∠F=∠BDF=1/2∠ABC=40，∠ADB=∠DAC+∠C=70，所以 ∠ADC=110. 而 ∠ADF=∠ADB+∠BDF=70+40=110，所以 ∠ADF=∠ADC (2)
又公共边 AD=AD (3)
所以由 (1)(2)(3) 可知 三角形ADF全等于三角形ADC，因此 AF=AC.
综上，AB+BD=AE+BE.

Answer 4

提示一下 BE=AE