Question

这道三角题怎么做能帮我看一下嘛？

Answer 1

(1) tan(C) / tan(B) = sin(C) / sin(B) * cos(B) / cos(C)

由正弦定理和余弦定理，等号右边等于 c/b * (a^2+c^2-b^2) / (a^2+b^2-c^2) * (ab / ac)
整理化简后得到 (a^2+c^2 -b^2)/(a^2+b^2-c^2)
代入题目条件 b^2+3a^2 = c^2后化简，得到 tan(C)/tan(B) = -2
(2)由(1)可知角B和角C中至少有一个大于90度（否则不可能tan(C)和tan(B)中有一个是负数）
所以A必然小于90度。
在[0,90度]范围内，tanA单调递增，cosA单调递减
当tanA取最大值时，cosA取得最小值
cos A = (b^2+c^2-a^2) / (2bc)， 代入条件b^2+3a^2 = c^2后消去a^2化简，得到
cos A = 1/3 ( 2b/c + c/b ) >= (2*根号2) / 3，等号当且仅当 2b/c = c/b时取得
此时sin A = 根号(1- cos^2 A) = 1/3
所以 tan A的最大值是 sinA / cos A = 1/ (2*根号2) = (根号2) / 4