Question

向量空间的基构成的矩阵一定是方阵对吗

书上这两个地方对于向量空间的维数是不是有冲突，一个是其中列向量的维数，一个是向量空间中基的列向量的个数，是不是就可以说基构成的矩阵一定是方阵?

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Answer 1

按照基的基本定义
向量空间中任意一个元素，都可以唯一地表示成基向量的线性组合
基就是由基向量构成的
那么显然对于n维空间
就需要n个基向量能够表达任意一个元素
而基向量都是线性无关的
所以就是n个线性无关的基构成n维矩阵，当然就是n*n的n维方阵

追问

比如二维向量空间V，a1,a2,a3…∈V,把它们构成矩阵，按照图二的定义，假设a1,a2是它的一个基，那么这个矩阵经过列初等变换

是不是可以变成这样

那么它的基a1,a2不是也可以是任意行2列的矩阵吗

追答

二阶方阵才是二维向量空间的啊

怎么可能让你写这么多列的

追问

按照图二的定义并没有说二维向量空间是二阶方阵

前提只有v是向量空间，而上面那个满足向量空间的要求

追答

定义已经说了基里面的每个向量都是线性无关的
你的图里，那么多零向量

你觉得还是线性无关的么？
有时候定义的话就是很难弄懂的
n维空间，就需要n个基向量能够表达任意一个元素

追问

我说了这是经过列初等变换之后的

原先是没有零向量的

原先这个矩阵里只有前两行是不全为零的数

由于a1,a2是基，其他向量可以由a1,a2线性表示，那么其他向量经过列初等变换一定可以化为零向量

但是a1,a2是线性无关的

只不过a1,a2从第三行开始全部为零了

这种按照定义的话也是二维的

你说n维空间需要n个基向量表示没错，但是我上面这种情况的话，也是两个基向量能够表达任意一个元素啊

Answer 2

不一定，例如三维空间的过原点的平面上所有的向量构成一个向量空间，这个空间只有两个基，基构成的矩阵是3x2的，不是方阵
你说的方阵情况当且仅当空间是满秩空间才成立，普通空间不成立

追问

你的意思是不是 比如一个列向量组

a1,a2,…经过列初等变换

可以化成这样的

那么a1,a2是它的基

这样的向量集合可以说是二维向量空间?

?

追答

是三维空间内的子空间，可以说是缩维到二维了

追问

怎么是三维空间的子空间了

追答

三维空间内的过原点的平面上所有向量当然是子空间了，这用子空间定义很容易证明啊
a）集合时全集的子集
b）加法封闭
c）数乘封闭
你对照百度百科里的子空间定义看看就知道了

Answer 3

并不是向量空间的基构成的矩阵一定是方阵。
首先，向量空间的向量不一定都是n元有序数组组成的，它可以是任意抽象的元素。
其次，即使向量空间是由n元有序数组构成的，但整个n维向量空间是有子空间的，比如某个n元齐次线性方程组的解空间就是一个子空间，它的一组基就是它的一个基础解系，如果系数矩阵的秩是r，则解空间的维数为n-r<n，此时已这组基因为矩阵的列向量来构成一个矩阵，就不是方阵，而是一个n行，n-r列的矩阵。

追问

那请问第一张图中为什么说n维向量空间的集合叫做n维向量空间

照你这么说，是不是第一张图中的定义弱于第二张图中的定义?

书上向量空间的定义是n维向量的集合，这里的n是不是不能指具体的数?

Answer 4

矩阵A可逆，则其n个行（或列）向量，必然线性无关（否则，线性相关，则必然导致矩阵的秩小于n，从而不可逆，得出矛盾！）
因而构成n维向量空间的一组基。
充分性：
n个行（或列）向量，是n维向量空间的一组基，
则显然这n个向量线性无关，因此矩阵的行（或列）秩，等于n，
则该n阶可逆。

追问

这个我知道，我问基构成的矩阵是不是方阵

就具体的数来说，3维向量空间的基构成的是不是三阶矩阵

又是啥也不懂在网上复制发给我的傻缺

Answer 5

哈哈哈，不会啦！