Question

请教一道高一数学题

设一扇形的周长为C（C>0)，当扇形的中心角为多大时，它有最大面积？最大面积是多少？

Answer 1

设半径为r,中心角为a, C=ra+2r,r=C/(a+2)
S=a(pai)r^2/[2(pai)]=(ar^2)/2=(aC^2)/[2(a+2)^2]=[C^2/2]*[a/(a+2)^2]
(a+2)^2/a=(a^2+4a+4)/a=a+4/a+4>=8,当且仅当a=2时等号成立
所以S=[C^2/2]*[a/(a+2)^2]<=[C^2/2]*[1/8]=C^2/16,当且仅当a=2时成立

Answer 2

c=2r+l
S=½rl=0.5r*(c-2r)=0.25*2r(c-2r)

有ab≤（a+b/2)²

S≤0.25*0.25c²=c²/16

当且仅当2r=c-2r时 等号成立

此时4r=c=2r+l
2r=l

θ=l/R=2R/R=2