Question

有关高一数列～数学天才请进

整数数列{an}
a1*a2+a2*a3+...+an-1*an=[(n-1)n(n+1)]/3(n=2,3,...)
求这样的数列的个数

Answer 1

a1*a2+a2*a3+...+an-1*an=[(n-1)n(n+1)]/3(n=2,3,...)

a1*a2+a2*a3+...+a(n-2)*a(n-1)=[(n-2)(n-1)n]/3(n=2,3,...)

两式子相减有
a(n-1)*an=(1/3)*(n*(n-1)*3)=n*(n-1)

{an}为整数数列，n与n-1互质，有an=n 或-n

结论：这样的数列有两个

Answer 2

好像(n-1)n(n+1)/3是一个求和公式的结果,然后用恒等式性质.

Answer 3

a1*a2+a2*a3+...+a(n-1)*an=[(n-1)n(n+1)]/3
a1*a2+a2*a3+...+a(n-1)*an+an*a(n+1)=[n(n+1)(n+2)]/3
二式-一式
a(n+1)*an=[n(n+1)(n+2)]/3-[(n-1)n(n+1)]/3=n(n+1)
ana(n-1)=(n-1)n

由于an为整数，故对任意ana(n-1)=(n-1)n都满足时，必有：an=n

Answer 4

a1*a2=2;a2*a3=6;a3*a4=12，a4*a5=20,a5*a6=30...
所以自然数列1,2,3...满足题意。
事实上，若只考虑整数，这样的数列有2个。
由a1*a2=2,a1只能取-1,1,-2,2。
令a1=-1,1,-2,2.均可以生成一组新数列。
但当a1取-2或2时，a7之后不是整数，所以满足条件的只有两组。
即1,2,3..
-1,-2,-3...