Question

高数微积分证明问题？

Answer 1

第一问用罗尔定理就可以了，下面是第二问

Answer 2

证明：n为正奇数，
F(x)=∫(0,x)cosx(1-sin^2x)^[(n-1)/2]dx=∫(0,x)(1-sin^2x)^[(n-1)/2]dsinx
=∫(0,x)∑(k=0,[(n-1)/2]) (-1)^kC(k,[(n-1)/2])*sin^(2k)xdsinx
=∑(k=0,[(n-1)/2]) (-1)^kC(k,[(n-1)/2])/(2k+1)*sin^(2k+1)x。
F(x)=m1sinx+m2sin^3x+m3sin^5+......（mi∈Z）为这种形式；sin^kx（k∈N*）的周期为2π，
所以F(x)的周期为2π。证毕。