Question

根的判别式与韦达定理）已知a，b，c是三角形的三边长，且方程（a²+b²+c²）x²+2（a+b+

已知a，b，c是三角形的三边长，且方程（a²+b²+c²）x²+2（a+b+c）x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形

Answer 1

因为方程（a²+b²+c²）x²+2（a+b+c）x+3=0有两个相等的实数根,
所以判别式=0，即
[2(a+b+c)]^2-4(a^2+b^2+c^2)*3=0,
(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=0,
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac-3a^2-3b^2-3c^2=0,
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac=0,
(a-b)^2+(b-c)^+(a-c)^2=0,
所以a=b=c
所以这个三角形是正三角形

Answer 2

⊿=4(a+b+c)^2-12(a^2+b^2+c^2)=0
即2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2=0
∴a=b=c
即是正三角形