Question

对任意正整数n，数列an均满足a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2）

an=3n+3求出来了
还有一道小题
已知bn=2的n次方，求Tn=a1b1+a2b2+……+anbn
最好有大致的过程
为什么答案都不一样……

Answer 1

2楼也不检查下 当n=1的时候就不成立嘛
2楼的提供了一种常规方法 错位相减
我写另外一种 裂项+待定系数法
AnBn=3(n+1)2^n
设C(n+1)-Cn=AnBn=3(n+1)2^n
那么Tn=(C2-C1)+.......+(C(n+1)-Cn)=C(n+1)-C1 中间全部抵消
观察3(n+1)2^n 显然Cn与3(n+1)2^n 有相同的结构
设Cn=（Xn+Y)2^n 那么 C(n+1)=(Xn+X+Y)2^(n+1) 提一个2进去得
C(n+1)=(2Xn+2X+2Y)2^n
然后相减得 C(n+1)-Cn=(Xn+2X+Y)2^n
又 3(n+1)2^n=（3n+3)2^n
两者比较得 X=3 2X+Y=3 所以Y=-3
所以 Cn=(3n-3)2^n C(n+1)=3n*2^(n+1) C1=0
所以Tn= 3n*2^(n+1)

Answer 2

a1+2a2+3a3+……+nan=n(n+1)(n+2）

a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)=(n-1)n(n+1)

相减有

nan=n(n+1)*3

an=3(n+1)=3n+3

Tn=(3*1+3)*2^1+(3*2+3)*2^2+...+(3n+3)*2^n
=3*(1*2^1+2*2^2+...+n*2^n)+3*(2^1+2^2+...+2^n)

x=1*2^1+2*2^2+...+n*2^n
2x=1*2^2+2*2^3+...+(n-1)*2^n+n*2^(n+1)
相减有
x=n*2^(n+1)-(2^1+2^2+...+2^n)

Tn=3*[n*2^(n+1)-(2^1+2^2+...+2^n)]+3*(2^1+2^2+...+2^n)
=3*n*2^(n+1)

代入n=1,n=2验算，答案正确

Answer 3

bn=2^n
an=3(n+1)
an bn=3(n+1)2^n 是等差和等比的积
Tn=6 *2+3*3*2^2+3*4*2^3+……+3（n）2^（n-1）+3（n+1）2^n
2Tn=6*2^2 +3*3*2^3+3*4*2^4+……+3（n）2^n+3（n+1）2^（n+1）
2Tn-Tn=3（n+1）2^（n+1）-2^2[2*3-3*3]-2^3(3*3-3*4)-2^n(3n-3(n+1))
Tn=3（n+1）2^（n+1）-2^2[-3]-2^3(-3)-2^n(-3)
=3(n+1)2^(n+1)+3(2^2+2^3+……+2^n)
=3(n+1)2^(n+1)+3(4-2^(n+1))/(1-2)
=3(n+1)2^(n+1)+3(2^(n+1)-4)
=3(n+2)2^(n+1)-12

Answer 4

解：
a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1)+nan=n(n+1)(n+2）,得n-1时的表达式
a1+2a2+3a3+……+(n-1)a(n-1 =n(n-1)(n+1）,
上2式相减，得
nan=3n(n+1)
得an=3n+3

anbn=3(n+1)*2^n
Tn/3=2*2^1+3*2^2+4*2^3+……+(n+1)*2^n,得
Tn/3=2*2^1+2*2^2+2*2^3+……+2*2^n+1*2^2+2*2^3+3*2^4+……+(n-1)*2^n
利用等比公式及上面的方法类推，得
Tn=3n*2^(n+1)

Answer 5

bn=4-(7+6n)*2^n