这道题怎么做,急,高中数学
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解:f(x)=e^x-ax+2,g(x)=xe^x+3。
(1)f'(x)=e^x-a,e^x>0
①a≤0,f'(x)=e^x-a>0,f(x)在R上单增,无极值
②a>0,f'(x)=0,x=lna
在x∈(-∞,lna),f'(x)<0,f(x)单减
在x∈(lna,+∞),f'(x)>0,f(x)单增,∴当x=lna时
f(x)取极小值f(lna)=a-alna+2,无极大值
(2)当x≥0时,f(x)≤g(x)恒成立:e^x-ax+2≤xe^x+3
(1-x)e^x-ax-1≤0,在x≥0时恒成立
令h(x)=(1-x)e^x-ax-1,h'(x)=-xe^x-a
h(0)=0,要使h(x)≤0在x≥0时恒成立
即需在x≥0时满足h'(x)≤0恒成立,即h'(x)max≤0
在x≥0时,h''(x)=-(1+x)e^x<0,h'(x)单减
即h'(x)max=h'(0)=-a,∴-a≤0
解得a≥0,命题得证。
追答
h(0)=0,要使h(x)≤0在x≥0时恒成立,只需h(x)在x≥0时单减,即h'(x)≤0恒成立,即h'(x)max≤0
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对f(x)求导,得出的导函数,讨论其值和0的大小时,关于x的取值范围,没有计算,导函数的值应该是先小于零再大于零,这样一个图像,那么原函数就是导函数取零的时候取得极值。
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第一小问,对f(x)求导,得出的导函数,讨论其值和0的大小时,关于x的取值范围,没有计算,导函数的值应该是先小于零再大于零,这样一个图像,那么原函数就是导函数取零的时候取得极值。
第二小问,通过g(x)-f(x)构建一个新的函数,判断函数的单调性,同时求出函数极小值,保证极小值大于等于零,就解出a的取值范围,其过程就是证明过程。
第二小问,通过g(x)-f(x)构建一个新的函数,判断函数的单调性,同时求出函数极小值,保证极小值大于等于零,就解出a的取值范围,其过程就是证明过程。
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直接求导,第一问分类讨论,a小于或等于零则无极值,a大于零则导数为零时x=lna取到最小值。第二问也差不多
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