Question

对带定积分号的多元函数求偏导

Answer 1

对带定积分号的多元函数求偏导
S(x)=∑[(n^2) * x^(n-1)] n从1到∞
逐项积分得：n从1到∞： ∑[(n) * x^(n)] =x ∑[(n) * x^(n-1)] =xf(x)
对∑[(n) * x^(n-1)] 逐项积分得：∑x^(n)=x/(1-x)
f(x)=[x/(1-x)]'=1/(1-x)^2
S(x)=∑[(n^2) * x^(n-1)]=[x/(1-x)^2]'=(1+x)/(1-x)^3
x=±1级数发散，收敛域（-1,1）
由G(x,yz)=0得：
G1+G2•[(dy/dx)•z+y•(dz/dx)]=0 ①
又dz/dx=xg'•(dy/dx) ②
所以由①②得：
G1+G2•[(dy/dx)•z+y•(xg'•(dy/dx))]=0
=>dy/dx=-G1/(G2(z+xyg'))
舍切点为 (a,1/a),则斜率为 y'(a) = -1/a²
所以直线方程为 y - 1/a = -1/a² (x-a)
即 y = -x/a² +2/a
其横纵 截距 分别为 2a,2/a
所以之和为2a+2/a >= 4 (均值不等式)
最小值是4
这时a=1,切线为 y=-x+2