如何解这个一元三次方程？x³-7x²+16x-12=0
其中 q 为常数项的因子， p 为最高次数项系数的因子。
本题经试验， x = 2 是根： 因 2^3-7*2^2+16*2-12= 8-28+32-12 = 0
x³-7x²+16x-12 = (x-2)(x^2+ax+6) = x^3 +(a-2)x^2+(6-2a)x-12
a-2 = -7, a = -5, 6-2a = 16 满足
x³-7x²+16x-12 = (x-2)(x^2-5x+6) = (x-3)(x-2)^2 = 0
x = 3, 2, 2
x^2(x-10)(3x-2)(x+6)=0
x=0,10,2/3,-6
只含有一个未知数（即“元”），并且未知数的最高次数为3（即“次”）的整式方程叫做一元三次方程（英文名：cubic equation in one unknown）。一元三次方程的标准形式（即所有一元三次方程经整理都能得到的形式）是ax3+bx2+cx+d=0（a，b，c，d为常数，x为未知数，且a≠0）。一元三次方程的公式解法为卡尔丹公式法。
我们知道，对于任意一个n次多项式，我们总可以只借助最高次项和（n-1）次项，根据二项式定理，凑出完全n次方项，其结果除了完全n次方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项、二次项、三次项等，直到（n-2）次项。由于二次以上的多项式，在配n次方之后，并不能总保证在完全n次方项之后仅有常数项。于是，对于二次以上的多项式方程，我们无法简单地像一元二次方程那样，只需配出关于x的完全平方式，然后将后面仅剩的常数项移到等号另一侧，再开平方，就可以推出通用的求根公式。
特别地，对于三次多项式，配立方，其结果除了完全立方项，后面既可以有常数项，也可以有一次项。一个自然的想法就是如何将一般的三次方程化为不带二次项的三次方程。
一般的一元三次方程
可以通过
的代换消掉二次项，得到
，所以解三次方程的关键是解只含有一次项的方程。
含有二次项但不含有一次项的一元三次方程，经过代换后可以消掉二次项，但是却会冒出一次项出来。对于方程
，代换后得到的是
。因为b≠0 ，所以一定会有一次项冒出来。
下面我们通过解一个具体的方程来说明只带一次项的一元三次方程的解法。
解方程：
首先，我们令x=u+v，其中u和v是任取的，把这个式子代入方程，我们得到
展开(u+v)³ ，得
提取3u²v+3uv² 的公因式3uv ，得
合并同类项，得
由于u和v可以任取，如果我们取3uv+6=0，那么就可以将式子化简为u³+v³-20=0，于是得到方程组
即
这个方程组有没有解呢？
如果我们令M=u³,N=v³，再把uv=-2的两边立方得到u³v³=-8即MN=-8，我们就得到了方程组
显然，这是一个二元二次方程组（因为单项式MN是二次单项式），肯定是能解的。
M+N=20移项后得到N=20-M，代入MN=-8，得到M(20-M)=-8，化简后就是一个一元二次方程
其中一个解为
所以
这样我们就求出了u和v
u和v相加后，就得到了三次方程的解x
上面
是猜出来的，就像我们可以直接猜出
，但是像
这样的根式就猜不出来，并且也不是所有的三次重根式都可以化简为二次根式跟一个数的和，所以我们就不要想着去化简一个三次重根式了。根据群论的知识，一元三次方程的求根公式必然存在两次开方，四次方程的求根公式必然存在三次开方。从另一个角度来说，开平方和开立方都是可以像加减乘除那样笔算的，我们应该把开方视为像加减乘除那样的普通运算，而不是一个不可拆的符号。之前是有人发明了除号÷，发现写在算式里面还好，但是写在代数式里面是很难看的，后来就改成了在代数式中用分数线表示除法。于是后面的人就吸取教训了，不再为开方发明一个单独的二元运算符了，直接用带一个勾勾的线来表示开方，同样乘方也没有发明专门的二元符号，直接在右上角标出来就行，在代数式里面一目了然。所以乘方和开方就成了所谓的代数运算了，而加减乘除属于算术运算。
用笔算开平方的方法算出108开平方后大约是10.392，然后10加根号108是20.392，10减根号108是-0.392，再笔算开立方算到小数点后两位，分别得到2.73和-0.73，相加之后就得到了x=2。笔算时计算的小数数位越多，得到的x值就越精确。如果我们算出来的小数位数足够多的话，最后开立方出来是2.7320508……和-0.7320508……，小数部分和根号3是一模一样的，我们很容易看出来这就是1加根号3、1减根号3。后者
就是
，约等于-(1.732-1)也就是-0.732，小数部分和根号三也是一样的。
虽然中学阶段只学了二次根式的化简，没有学笔算开方，但是我们要知道开根号是可以笔算的，开方也可以视为一个像加减乘除那样的普通运算。而不是一看到开根号就很害怕，就想着怎么去化简。事实上，三次重根式是很复杂的，要想化简是非常困难的。只要学会了列竖式笔算开平方和开立方，我们就能在没有计算器的情况下，利用三次方程的求根公式，笔算出任何一个三次方程的解！（笔算除法时有一个说法叫试商，笔算开方的时候也有一个类似的说法——试根）
一般的三次方程不能用配方法求解，但四次方程可以。四次方程的标准解法就是引入参数后等式两边配平方，然后两边开方求解，参数通过解一个三次方程得到。得到的四次方程的求根公式里面只有平方根和立方根，没有四次方根，所以通过笔算开平方和开立方，也能直接笔算出四次方程的解。四次方程求根公式里面包含的三重根式更加复杂，就更不要想着去化简了，老老实实笔算出来吧！
在这个例子中，u和v都是无理数，两个无理数相加后得到有理数x=2。虽然实际的解是一个有理数，可以精确表示，但是无理数很难精确表示，手工相加后的结果也不精确，于是我们只能得到近似的解。对于这种两个无理数相加得到有理数的情况，只有想办法提高无理数的计算精度，使求出的非精确解尽可能接近实际的解。
希望我能帮助你解疑释惑。
