Question

求救高数习题

么么哒～(^з^)-☆

Answer 1

Answer 2

f(x)
=[g(x)-e^(-x) ]/x ; x≠0
=0 ; x=0
g(0) =1, g'(0)=-1
(1)
lim(x->0) f(x)
=lim(x->0) [g(x)-e^(-x) ]/x (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) [g'(x)+e^(-x) ]
=g'(0) +e^0
=-1+1
=0
=f(0)
x=0 , f(x) 连续
f'(0)
=lim(△x->0) { [g(△x)-e^(-△x) ]/△x -f(0) }/△x
=lim(△x->0) { [g(△x)-e^(-△x) ]/(△x)^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(△x->0) { [g'(△x)+e^(-△x) ]/(2△x) (0/0 分子分母分别求导)
=lim(△x->0) { [g''(△x)-e^(-△x) ]/2
=(1/2)[g''(0)-1]
x≠0
f(x) =[g(x)-e^(-x) ]/x
f'(x)
={ x[g'(x)+e^(-x) ] - [g(x)-e^(-x) ] }/x^2
=[ xg'(x) -g(x) +xe^(-x) +e^(-x) ] /x^2
ie
f'(x)
= (1/2)[g''(0)-1] ; x=0
=[ xg'(x) -g(x) +xe^(-x) +e^(-x) ] /x^2 ; x≠0
(2)
lim(x->0) f'(x)
=lim(x->0) [ xg'(x) -g(x) +xe^(-x) +e^(-x) ] /x^2 (0/0 分子分母分别求导)
=lim(x->0) [ xg''(x) +g'(x) -g'(x) -xe^(-x) +e^(-x) -e^(-x) ] /(2x)
=lim(x->0) [ xg''(x) -xe^(-x) ] /(2x)
=lim(x->0) [ g''(x) -e^(-x) ] /2
=(1/2)[g''(0)-1]
=> x=0 ,f'(x)连续