Question

一阶微分方程

Answer 1

举例说明：(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)^3 解： ∵(x-2)*dy/dx=y 2*(x-2)3 (x-2)dy=[y 2*(x-2)3]dx (x-2)dy-ydx=2*(x-2)3dx [(x-2)dy-ydx]/(x-2)2=2*(x-2)dx d[y/(x-2)]=d[(x-2)2] y/(x-2)=(x-2)2 C (C是积分常数) y=(x-2)3 C(x-2) ∴原方程的通解是y=(x-2)3 C(x-2)(C是积分常数)。 扩展资料：形如y'+P(x)y=Q(x)的微分方程称为一阶线性微分方程，Q(x)称为自由项。一阶，指的是方程中关于Y的导数是一阶导数。线性，指的是方程简化后的每一项关于y、y'的次数为0或1。对于一阶非齐次线性微分方程：其对应齐次方程: 解为：令C=u(x)，得: 带入原方程得：对u’(x)积分得u(x)并带入得其通解形式为：其中C为常数，由函数的初始条件决定。注意到，上式右端第一项是对应的齐线性方程式（式2）的通解，第二项是非齐线性方程式（式1）的一个特解。由此可知，一阶非齐线性方程的通解等于对应的齐线性方程的通解与非齐线性方程的一个特解之和。

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Answer 2

则
dx=siny/√(1+y^2)dy-xy/(1+y^2)dy
则
dx/dy+xy/(1+y^2)=siny/√(1+y^2)
为一阶非齐次线性方程（只不过x,y位置颠倒了一下，但是不影响使用公式）。使用公式
x=e^(∫(-y/(1+y^2)dy)(c+∫siny/√(1+y^2)*e^(∫(y/(1+y^2)dy)dy)
=e^(-1/2ln(1+y^2))(c+∫siny/√(1+y^2)*e^(1/2ln(1+y^2))dy)
=(1/√(1+y^2))(c+∫siny/√(1+y^2)*√(1+y^2)dy)
=(1/√(1+y^2))(c-cosy)
在遇到不能化为dy/dx的形式，或者比较复杂时，考虑化为
dx/dy+p(y)x=q(y)的形式
然后使用公式！