一道高数题求助🙏
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详细过程是，设an=[(-1)^(n-1)]/n。
∴ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1。故，收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨(Un+1)/Un丨=丨x丨/R<1，∴级数的收敛区间为丨x丨<1。
∴x=-1时，级数∑[(-1)^(n-1)](x^n)/n=-∑1/n，p=1的p-级数（调和级数），发散。当x=1时，∑[(-1)^(n-1)](x^n)/n=∑[(-1)^(n-1)]/n，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。
∴其收敛域为-1<x≤1。
设S(x)=∑[(-1)^n](x^n)/n。两边对x求导、在其收敛区间，有S'(x)=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x)。
∴原式=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)dx/(1+x)=ln(1+x)。
供参考。
∴ρ=lim(n→∞)丨(an+1)/an丨=lim(n→∞)n/(n+1)=1。故，收敛半径R=1/ρ=1。
又，lim(n→∞)丨(Un+1)/Un丨=丨x丨/R<1，∴级数的收敛区间为丨x丨<1。
∴x=-1时，级数∑[(-1)^(n-1)](x^n)/n=-∑1/n，p=1的p-级数（调和级数），发散。当x=1时，∑[(-1)^(n-1)](x^n)/n=∑[(-1)^(n-1)]/n，是交错级数，满足莱布尼兹判别法的条件，收敛。
∴其收敛域为-1<x≤1。
设S(x)=∑[(-1)^n](x^n)/n。两边对x求导、在其收敛区间，有S'(x)=∑(-x)^(n-1)=1/(1+x)。
∴原式=∫(0,x)S'(x)dx=∫(0,x)dx/(1+x)=ln(1+x)。
供参考。
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