Question

求极限(lim)┬(x→∞) x^2 (sin⁡〖1/x〗-sin⁡〖1/(x+1)〗 )

Answer 1

分享一种解法，应用等价无穷小量替换求解。∵x→∞，∴1/x→0、1/(1+x) →0，sin(1/x)~1/x、sin[1/(x+1)]~1/(1+x)。
∴原式=lim(x→∞)x²[1/x-1/(1+x)]=1。
供参考。

追问

我觉得方法是对的，不过我觉得等价无穷小换成泰勒公式的二阶展开形式会更好，因为分母是平方(1/x)^2而sin(x)的泰勒公式平方项正好为0，因此此题一阶等价无穷小正好等于泰勒公式的二阶展开。个人认为如果将等价无穷小换成sin(1/x)=1/x+o(x^2),sin(1/1+x)=1/(1+x)+o(x^2)，就可以作为大题目的步骤了。