Question

求问一道高数题，希望能知道详细过程，感谢！！！

Answer 1

dx/dy =-x/ ylny +1/y 【注：这也是非齐次线性方程，只不过dx和dy换了顺序而已】
先求对应的齐次方程dx/dy=-x/ ylny
dx/x=-dy/ ylny =- d(lny) /lny
ln|x|=-ln|lny|+ln|c|
故x=c/ lny
由常数变易法，令x=c(y) /lny
则dx/dy=[c'(y)lny - c(y)/y] / ln²y
代入原方程,并化简，得c'(y)=lny /y
c(y)=∫lny /y dy=∫lny d(lny)=½ ln²y +C
故原方程得通解为
x=c(y) /lny =½lny +C/lny

Answer 2

Answer 3

求微分方程 dx/dy+x/(ylny)=1/y的通解；
解：先求齐次方程 dx/dy+x/(ylny)=0的通解：
分离变量得：dx/x=-dy/(ylny)
积分之得：lnx=-∫dy/(ylny)=-∫d(lny)/lny=-lnlny+lnc₁=ln(c₁/lny)
故x=c₁/lny；将c₁换成y的函数u(y)；则有 x=u/lny.............①
将①的两边对y取导数得：dx/dy=(lnydu/dy-u/y)/ln²y=(1/lny)(du/dy)-u/(yln²y)..........②
将①②代入原式得：(1/lny)(du/dy)-u/(yln²y)+(u/lny)/(ylny)=1/y
化简得：(1/lny)(du/dy)=1/y；
∴du=[(lny)/y]dy；积分之得u=∫[(lny)/y]dy=∫lnyd(lny)=(1/2)ln²y+c;
代入①式即得通解：x=[(1/2)ln²y+c]/lny=(1/2)lny+(c/lny)；

Answer 4