Question

线性代数求帮忙

这个3.13啥玩意，就是我画线部分，为啥取k1,k2,k3为非零解，不是x1,x2,x3吗。。。而且还有一点，其实这个题整体没太理解，谢谢大神

Answer 1

首先要明白：
如果要证β1，β2，β3线性相关，只需要得出存在不全为零的一组数k1,k2,k3使得
k1β1+k2β2+k3β3=0
即可。（当然，要证明线性无关，只需要证明不存在不全为零的k1,k2,k3使得上述式子成立）
而对于本题：
要使得(3)完全成立{不管α1，α2是什么}。肯定只能是系数为0，也就是
a11k1+a12k2+a13k3=0
a21k1+k22k2+a23k3=0
因此，可以看出：k1,k2,k3是线性方程
a11x1+a12x2+a13x3=0
a21x1+a22x2+a23x3=0
的一组解。
而根据线性方程组基础解系的特点。
解向量的个数= n-r(A),其中n为变量个数，r(A)为系数矩阵的秩
显然：n=3, r(A)<=2 【这就是题目说的，方程数量没有变量多，肯定有无穷多解】
所以，必定存在非零解，也就是k1,k2,k3不全为0.
那就说明存在不全为零的一组数k1,k2,k3使得
k1β1+k2β2+k3β3=0
那说明β1，β2，β3线性相关