Question

设x，y>=0，2x+y=6，则z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y的最大值与最小值的和为？

Answer 1

由2x+y=6，可以得到y=6-2x,因为x≥0，y≥0，所以y=6-2x≥0故3≥x≥0
将y=6-2x代入到z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y中
可以得到z=4x^2+3x（6-2x）+（6-2x）^2-6x-3（6-2x）
=2x^2-6x+18=2(x-3/2)^2+18-9/2
所以变成了二次函数在给定区间上的最值，由于对称轴在给定区间上，
所以在对称轴处取得最小值27/2,
在0或3处取得最大值为18

Answer 2

解:
因为2x+y=6,所以y=6-2x
所以Z=4x^2+3xy+y^2-6x-3y
=4x^2+3x(6-2x)+(6-2x)^2-6x-3(6-2x)
=4x^2+18x-6x^2+4x^2-24x+36-6x-18+6x
=2x^2-6x+18
=2(x-3/2)^2+27/2
又因为x,y>=0,2x+y=6
y=0时,x=3
所以x的取值范围是[0,3]
所以Z=2(x-3/2)^2+27/2
在[0,3]上的最大值时x取0或3
即当x=0,y=6或x=3,y=0时
Z有最大值Z=18