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由积分中值定理得，存在c∈(0,1/k)，使得
f(1)=k ce^(1-c)f(c)(1/k -0)=ce^(1-c)f(c)
即f(1)e^(-1)=cf(c)e^(-c)
故令F(x)=xf(x)e^(-x)，有F(1)=F(c),
则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
且F'(x)=[f(x)+xf'(x)]e^(-x) - xf(x)e^(-x)=[(1-x)f(x)+xf'(x)]e^(-x)
由罗尔定理得，存在η∈(c,1)包含于(0,1),使得F'(η)=0，
即[(1-η)f(η)+ηf'(η)]e^(-η)，
整理得f'(η)=(1- 1/η)f(η).
f(1)=k ce^(1-c)f(c)(1/k -0)=ce^(1-c)f(c)
即f(1)e^(-1)=cf(c)e^(-c)
故令F(x)=xf(x)e^(-x)，有F(1)=F(c),
则F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，
且F'(x)=[f(x)+xf'(x)]e^(-x) - xf(x)e^(-x)=[(1-x)f(x)+xf'(x)]e^(-x)
由罗尔定理得，存在η∈(c,1)包含于(0,1),使得F'(η)=0，
即[(1-η)f(η)+ηf'(η)]e^(-η)，
整理得f'(η)=(1- 1/η)f(η).
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