Question

若反常积分（+无穷，0）1/x^a(1+x)^bdx收敛，则对a和a+b的取值范围有什么要求

Answer 1

a的取值范围是a<1。

解析：

∫(0,1) 1/ x^adx

=∫(0,1) x^(-a) dx

=1/(-a+1) * x^(-a+1) 

若积分收敛,

那么代入下限0得到的一定是常数而不是无穷大,

所以-a+1 >0

故a的取值范围是a<1

不定积分

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分、含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有指数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

保号性

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。作为推论，如果两个I上的可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。

Answer 2

a＜1，且a+b＞1。详情如图所示

Answer 3

首先这不是基本的反常积分，需要把它拆成两个基本反常积分，然后对每个反常积分用判别法判断。

追问

1、这个积分区间是任选的吗
2、为什么第一个积分的（1+x)^b被忽略了

追答

中间那个1是任意选的

追问

那第二个问题呢

追答

它在0到1内就是普通有界的函数