已知a、β为锐角,sina=8/17,cos(a-β)=21/29,则cosβ=?
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知a,β为锐角,故
cosa=√(1-sina*sina)=√(1-2/3*2/3)=√5/3
分两种情况讨论:
(1)当
a>β时,a-β>0
sin(a-β)>0
sin(a-β)=√[1-cos(a-β)*cos(a-β)]=√(1-4/5*4/5)=3/5
此时
cosβ=cos[a-(a-β)]=
cosa*cos(a-β)
+sina*sin(a-β)
=√5/3*4/5+2/3*3/5
=4√5/15+2/5
检验:由于
(4√5/15+2/5)-√5/3=(6-√5)/15>0
即cosβ>
cosa
y=cosx
在(0,π/2)上为减函数,所以
a<β,与假设成立。
所以
cosβ=4√5/15+2/5
(2)当
当
a<β时,a-β<0
sin(a-β)<0
sin(a-β)=-√[1-cos(a-β)*cos(a-β)]=-√(1-4/5*4/5)=-3/5
此时
cosβ=cos[a-(a-β)]=
cosa*cos(a-β)
+sina*sin(a-β)
=√5/3*4/5-2/3*3/5
=4√5/15-2/5
检验:由于
(4√5/15-2/5)-√5/3=(-6-√5)/15<0
即cosβ<
cosa
y=cosx
在(0,π/2)上为减函数,所以
a<β,与假设成立。
所以
cosβ=4√5/15-2/5
综上所述:cosβ=4√5/15+2/5或者
cosβ=4√5/15-2/5
cosa=√(1-sina*sina)=√(1-2/3*2/3)=√5/3
分两种情况讨论:
(1)当
a>β时,a-β>0
sin(a-β)>0
sin(a-β)=√[1-cos(a-β)*cos(a-β)]=√(1-4/5*4/5)=3/5
此时
cosβ=cos[a-(a-β)]=
cosa*cos(a-β)
+sina*sin(a-β)
=√5/3*4/5+2/3*3/5
=4√5/15+2/5
检验:由于
(4√5/15+2/5)-√5/3=(6-√5)/15>0
即cosβ>
cosa
y=cosx
在(0,π/2)上为减函数,所以
a<β,与假设成立。
所以
cosβ=4√5/15+2/5
(2)当
当
a<β时,a-β<0
sin(a-β)<0
sin(a-β)=-√[1-cos(a-β)*cos(a-β)]=-√(1-4/5*4/5)=-3/5
此时
cosβ=cos[a-(a-β)]=
cosa*cos(a-β)
+sina*sin(a-β)
=√5/3*4/5-2/3*3/5
=4√5/15-2/5
检验:由于
(4√5/15-2/5)-√5/3=(-6-√5)/15<0
即cosβ<
cosa
y=cosx
在(0,π/2)上为减函数,所以
a<β,与假设成立。
所以
cosβ=4√5/15-2/5
综上所述:cosβ=4√5/15+2/5或者
cosβ=4√5/15-2/5
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