Question

跪求高数大佬

Answer 1

因为二重积分的积分区域为D:x^2+y^2≤1，是一个直径为1的圆的积分区域。
所以可以令一个积分区域为D1=｛(x,y)|x^2+y^2≤1，x>0,y>0｝,在积分区域D1中，x>0,y>0
所以二重积分 ∫∫3|x|+2|y|dxdy =4∫∫(3x+2y)dxdy，积分区域为D1=｛(x,y)|x^2+y^2≤1，x>0,y>0｝；
即∫∫|3x+2y|dxdy =12∫∫xdxdy+8∫∫ydxdy
其中∫∫xdxdy=∫xdx∫dy，此时的积分区域为0<x<1，0<y<√(1-x^2)；
化简得∫∫xdxdy=∫xdx∫dy=∫x√(1-x^2)dx=(-1/2)∫√(1-x^2)d(1-x^2)，此时积分区域为0<x<1；
计算得到∫∫xdxdy=1/3 。
因为∫∫xdxdy与∫∫ydxdy关于y=x曲线对称，同时积分区域都在第一象限，即∫∫xdxdy=∫∫ydxdy；
即∫∫ydxdy=1/3。
所以二重积分 ∫∫3|x|+2|y|dxdy =12*（1/3）+8*（1/3）=20/3 。