Question

求一道高数题

另外问下这道题用几何图形来表示是什么意思？是求几何体的体积还是质量？

Answer 1

这既不是面积也不是体积，虽然是个面积分，但里面有个z。
这个积分区域是圆锥的一部分。
而z可以视为高度。
想想物理学，盛水的容器壁，器壁所受压强与水深成正比。
所以这积分可视为与一个倒扣在水中的空心圆锥容器所受压力的标量和，水面恰好与圆锥顶齐平。但实际上力的叠加是矢量叠加，这么求还真难说有啥用。

算出来结果是：

如图，如有疑问或不明白请追问哦！如经常需要问此类问题，可以点个关注哦。

追问

请问一下ds代表什么的微分？

追答

通常
dS是面微分元
ds是线微分元

追问

再请教一下您，您求的ds代表的是圆锥哪一面的面微元？

为什么用dθ乘以d√（dz）²＋（dr）²

追答

因为这是第一型曲面积分，不分朝向，所以是圆锥的侧面微元，不分内外

这个面积分太难，我们先退化为线积分解释

如下图，先侧视圆锥，用两个垂直于Z轴的平面截得一条环状细带，以及取dθ角的“尖角”就得到面积微元dS，当忽略dθ，则dS退化为线元ds，就是圆锥横截面的三角形侧边上的长度。

因为圆锥侧边斜率不变，那么ds和dz的关系就是差一个倍数，此题为根号2。

再乘上弧长rdθ，就是面微元dS。

而一整条环状细带就是先∫dθ从0到2π的结果。

追问

明白了，十分感谢您